21 marzo 2013

Sobre los metodos geográficos de Eratóstenes de Cirene

Artículo

Dieter LELGEMANN
On the Geographic Methods of Eratosthenes of Kyrene
HS 2 - Session 2
Integrating the Generations
FIG Working Week 2008
Stockholm, Sweden 14-19 June 2008 

Este artículo trata 3 cuestiones matemáticas de las aportaciones de Eratóstenes:
1. ¿Qué definición de estadio utilizo  Eratóstenes en sus cálculos?
2. ¿Qué sabemos del uso antiguo de las funciones trigonométricas?
3. ¿Como calculó Eratóstenes su mapa?
Pero en realidad aparte de aspectos muy técnicos nos abre una ventana al conocimiento de la época, que nos da una ilustración de lo avanzado que era el nivel matemático (trigonométrica) y la cartografía en el tercer siglo antes de cristo. 
Era capaz con instrumentos muy primitivos de medir y calcular p. ej. la distancia tierra-sol, la distancia luna-tierra, el diámetro del sol y de la luna, la duración de un año (¡365,25 días! introduce el año bisiesto), calcula la circunferencia de la tierra con una precisión más que sorprendente. Aportó un sistema de georeferencia (coordinadas) con latitud y longitud que básicamente se sigue utilizando, lo que abrió el camino a la cartografía matemática (proyectar las posiciones en un esfera - la tierra - en un plano).
Aparentemente tenía una visión heliocéntrico, es decir pensó que la tierra gira al rededor del sol, algo muy copernicano. En realidad lo que sabía Eratóstenes no está tan lejos de lo que un estudiante de hoy en día aprende en un curso de cartografía en la universidad.

Eratóstenes (Cirene (actúalmente en  Libia), 276 a.C - Alejandria, 194 a.C.) es probablemente el geógrafo/astrónomo más influyente de todos los tiempos. Tenía amistad con Arquímedes con quien aparentemente intercambiaba nociones científicas. Se conoce su obra básicamente a través de Cleómedes, Estrabón y Claudio Ptolomeo.
Era un hombre polifacético, y entre otros fue el bibliotecario de la biblioteca de Alejandria, después de Apolonio de Rodas. 
Pero nos vamos a centrar aquí en sus aportaciones a la astronomía y geografía que son fundamentales.

2 logros de Eratóstenes

  1. Ángulo entre la eclíptica y el ecuador
    La eclíptica es el plano en la cual la tierra se mueve alrededor del sol, mientras que el ecuador es el plano perpendicular al eje de la tierra (ver fig. 1). Esta ángulo entre ambos es fundamental para entender el movimiento de las estrellas, las estaciones, posición del sol, longitud del día, y es básico en cualquier observación astronómica y para la navegación.
    Eratóstenes encontró para dicho ángulo, llamado oblicuidad, según Ptolomeo un valor, expresado en grados, de 11/83 de 180º (23º 51' 15") (Fowler, 1983)
  2.  Circunferencia de la tierra
    Eratóstenes sabía que la tierra es curvada (se observa que los barcos desaparecen detrás del horizonte, cuando desde una altura se les ve todavía, y esto en todas las direcciones). Sabía que la altura del sol en un determinado día era mayor más al sur.
    Sabía que en Siena (actual Asuán) el día del solsticio de verano (ver fig. 2), a mediodía, el sol se encuentra en el zenit. Siena se encuentra aprox. en el trópico de cáncer (El día del solsticio de invierno llega hasta el zenit en el trópico de capricornio, en el hemisferio sur).

    Entonces determinó en su ciudad el ángulo del sol que se desviaba 7,2º del zenit (debido a la curvatura de la tierra) (ver fig 3.).
    Aparte de esto determinó la distancia entre ambos lugares en 5.000 stadios.
    De allí es fácil de deducir la cirunferencia de la tierra y su radio:
    circunferencia de la tierra = 5000stad/7,2º*360º = aprox 250.000 stadios

    La pregunta fundamental es que tipo de stadio utilizó él para sus cálculos. A esta pregunta intenta contestar el autor del artículo.

Fig 1. Los dos planos fundamentales del movimiento de la tierra: el ecuador perpendicular al eje de la tierra,
y la eclíptica plano del movimiento de la tierra al rededor del sol. El ángulo entre ambos es 23º 27'.
Imagen: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ecl%C3%ADptica-plano-lateral-ES.png
Fig. 2. El 'viaje' de la tierra al rededor del sol en un ciclo de un año: debido a la inclinación del eje de la tierra (que es fija, 23,5º hacia la 'izquierda') la zona (latitud) donde es sol está en el zenit bascula entre el trópico de cáncer (23,5º N) durante el solsticio de verano, el equador (0º) durante los dos equinoces (primavera y otoño), y el trópico de capricornio (23º S) durante el solsticio de invierno
http://www.opencourse.info/astronomy/introduction/03.motion_earth/ Copyright 2002 Scott R. Anderson, Ph.D.
Fig 3. Cuando en Siena se observa el sol en el zenit el día del solsticio de verano, se observa en Alejandría el sol con
un ángulo de 7,2º del zenit hacia el sur.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Eratosthenes_%26_measurement_of_the_Earth.png

 Volviendo al artículo

1. ¿Qué definición de estadio utilizo  Eratóstenes en sus cálculos?

Según el autor el stadio utilizado por Eratóstenes es:
1 stade III = 600 Gudea foot = 600*0.26455m = 158,73 m
  
Entonces la circonferencia de la tierra es 250.000 stadios * 158,73 m/stadio = 39.682.500 m (el autor utiliza 252.000 stadios).

y entonces el radio de la tierra es 250.000 stadios/(2*PI) = 40.000 stadios -> 6.320.000 m (el autor utiliza 40100 stadios).
Comparamos los valores de Eratóstenes con las dimensiones conocidas de la tierra.

radio de la tierra:  6.371.000 m vs 6.320.000 m (Eratóstenes)
Comentario: los valores se acercan demasiado para creérselo. No sé hasta que punto la elección del 'stadio III' es arbitrario (un especio de razonamiento cíclico) o realmente basado en ciencia, no lo puedo comprobar. Además Eratóstenes suponía que ambas localidades se encontraron en el mismo meridiano lo que nos es el caso.
También el autor se lo pregunta:

How could Erathostenes achievesuch an excellent result?
About the method used by his predecessor to determine the circumference of
the Earth provides Ptolemy the necessaryinformation in book I.5 of the Geographike Hyphegesis (Knobloch et. al. 2003).  

2. ¿Qué sabemos del uso antiguo de las funciones trigonométricas?

Sin entrar en detalles podemos resumir que tenían sistemas para medir ángulos basados en 12 divisiones de un círculo como unidad (30º) que se dividía con bisectrices en ángulos más pequeños. 2,5º corresponde con 30 daktylos.

A nivel de trigonométrica conocían los conceptos de seno, coseno, tangente, cotangente y relaciones como:
También el llamado lema de Arquímedes:



 3. ¿Como calculó Eratóstenes su mapa?

Quizás lo más sorprendente es la existencia de los conceptos modernos de latitud y longitud.
La latitud se calculaba p.ej. a base de la posición del sol el día del solsticio de verano:
latitud = distancia del zenit del sol + 23,5º (1)

El autor señale 3 metodos en la antigüedad para calcular la latitud:
1º el método de Philo para latitudes > 24º  
2º el método de Pyteas (ver formula 1)
3º el método de la longitud del día más larga (solsticio de verano)

Los errores son según el autor de de 5' a 10' en los dos primeros casos y de 2º demasiado largo en caso del tercer método.
Los resultados son impresionantes como muestra la siguiente tabla (comparar segunda y cuarta columna):
Diferencia entre la latitud conocida y la calculada por Eratóstenes (Lelgemann, 2008)
La longitud forma en realidad el problema, visto que se necesita saber el tiempo solar local. Entonces a falta del conocimiento del tiempo solar local se estima la distancia de un meridiano de referencia. Según Estrabón el meridiano de referencia de Eratóstenes era uno de los canales del delta del Nilo ('Canobic mouth').
En los cálculo de longitud de Eratóstenes tampoco observamos grandes desviaciones de la longitud real (ver dos últimas columnas a la derecha):
Diferencia entre la latitud y la calculada por Eratóstenes, ver dos últimas columnas - interpreto que la primera es la longitud en stadions desde el meridiano de Eratóstenes y la segunda la calculada por Eratóstenes (no está de todo claro).
(Lelgemann, 2008)
 A partir de estas coordinadas de una esfera, Eratóstenes realizó una proyección matemática en un plano. Es decir calculó para una proyección equidistante (es decir que conserva las distancias; una proyección perfecta de una esfera en un plano es imposible, se tiene que sacrificar información en función del tipo de proyección. O se conserva la forma/las relaciones angulares, las superficies o las distancias; ver aquí).

Conclusión:

El autor demuestra que la sofisticación del metodo de Eratóstenes se acerca mucho a los métodos de la cartografía moderna
 
Nota:
Para facilitar hemos utilizado aquí grados para indicar los resultados de cálculo de Eratóstenes donde él en realidad utilizó proporciones.
(Thanks a lot Ernst Olav Blakstad for your information, and entering in our blog.)